Limits & Calculus Preview

CHAPTER 8 | PART 1

Limits: Getting Close

극한(limit)은 x가 어떤 값에 가까워질 때 함수값이 어디에 가까워지는지 나타냅니다.

Notation

lim x→a f(x)=L

Meaning

x가 a에 가까워질 때 f(x)가 L에 가까워짐

Example

lim x→2 (x+3)=5

LIMITS

1. Read a Limit from a Graph

그래프의 왼쪽과 오른쪽에서 가까워지는 y값을 관찰합니다.

Left-hand

lim x→a- f(x)

Right-hand

lim x→a+ f(x)

Exists

왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 같을 때

Does not exist

양쪽 값이 다르거나 끝없이 커질 때

CONTINUITY

2. No Breaks, Holes, or Jumps

연속(continuous)이란 그래프를 펜으로 끊지 않고 그릴 수 있는 상태입니다.

Condition 1

f(a)가 정의됨

Condition 2

lim x→a f(x)가 존재

Condition 3

lim x→a f(x)=f(a)

Examples

다항함수는 모든 실수에서 연속

DERIVATIVE

3. Instantaneous Rate of Change

미분(derivative)은 한 순간의 변화율, 즉 그래프에서 접선(tangent line)의 기울기입니다.

Average rate

[f(b)-f(a)]/(b-a)

Instantaneous rate

한 점 근처의 평균 변화율의 극한

Example

속도는 위치의 순간 변화율

INTEGRAL

4. Accumulated Change

적분(integral)은 작은 변화량을 계속 더한 누적값이며, 그래프 아래 넓이와 연결됩니다.

Area idea

높이가 f(x)인 작은 직사각형들을 더함

Example

속도-시간 그래프 아래 넓이 = 이동거리

Connection

미분과 적분은 서로 깊게 연결됨

NEXT

Part 2 preview

다음 파트에서는 간단한 미분·적분 예고와 종합 복습을 다룹니다.

DERIVATIVE RULES

5. A First Look at Differentiation

미분 규칙은 함수의 순간 변화율을 빠르게 찾게 해 줍니다.

Constant

d/dx(c)=0

Power rule

d/dx(x^n)=n x^(n-1)

Example

d/dx(x²)=2x

Example

d/dx(3x³-5)=9x²

INTEGRALS

6. A First Look at Accumulation

적분은 미세한 변화량을 더한 누적값입니다.

Antiderivative

d/dx(x²/2)=x

Power pattern

∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C

Area

정적분은 두 x값 사이의 부호 있는 넓이

THE BIG CONNECTION

7. Fundamental Theorem Preview

미분과 적분은 서로 반대 방향의 작업이지만, 하나의 큰 연결로 묶입니다.

Position → velocity

위치를 미분하면 속도

Velocity → distance

속도를 적분하면 이동거리

Graph connection

기울기와 넓이는 변화의 두 관점

READY FOR CALCULUS

8. What to Review

Calculus I를 시작하기 전 이 교재의 핵심 능력을 다시 확인하세요.

Functions

그래프, 변환, 역함수

Algebra

인수분해, 분수식, 지수·로그

Trigonometry

단위원, 그래프, 항등식

Limits

극한과 연속의 언어

CHAPTER REVIEW

9. Practice & Answer Key

극한과 미적분의 첫 언어를 정리합니다.

lim x→4 (2x-1)

연속의 세 조건 중 하나

d/dx(x³)

d/dx(5x²-7)

속도-시간 그래프 아래 넓이의 의미

∫x dx