Vectors & Conic Sections

CHAPTER 7 | PART 1

Vectors and Conics

벡터는 크기와 방향을 함께 나타내며, 원뿔곡선은 좌표평면의 중요한 곡선입니다.

Vector

크기(magnitude)와 방향(direction)을 가진 양

Component form

v=<a,b>

Use

힘, 이동, 속도, 그래픽

VECTORS

1. Components and Magnitude

벡터는 좌표 성분으로 더하고 빼며, 길이는 피타고라스 정리로 구합니다.

Addition

<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d>

Magnitude

|<a,b>|=sqrt(a²+b²)

Example

|<3,4>|=5

DOT PRODUCT

2. Multiply and Compare Direction

내적(dot product)은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하는지 나타냅니다.

Formula

u·v=a c+b d

Perpendicular

u·v=0이면 서로 수직

Example

<2,1>·<1,-2>=2-2=0

CIRCLES

3. Center and Radius

원의 표준형은 중심과 반지름을 식에서 바로 읽게 해 줍니다.

Standard form

(x-h)²+(y-k)²=r²

Center

(h,k)

Radius

r

Example

(x-2)²+(y+1)²=9: center (2,-1), r=3

4. Check Your Understanding

벡터와 원의 언어를 복습합니다.

<4,-3>의 크기

<1,2>+<-3,5>

<2,3>·<3,-2>

(x+4)²+(y-2)²=25의 중심과 반지름

중심 (1,3), 반지름 4인 원의 식

<5,0>과 <0,7>은 수직인가?

NEXT

Part 2 preview

다음 파트에서는 포물선, 타원, 쌍곡선과 종합 문제를 다룹니다.

PARABOLAS

5. One Focus, One Directrix

포물선(parabola)은 초점(focus)과 준선(directrix)까지의 거리가 같은 점들의 집합입니다.

Vertical form

(x-h)²=4p(y-k)

Horizontal form

(y-k)²=4p(x-h)

Vertex

(h,k)

Example

y=(x-2)²+1: vertex (2,1)

ELLIPSES

6. A Stretched Circle

타원(ellipse)은 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 곡선입니다.

Horizontal major axis

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1, a>b

Center

(h,k)

Relationship

c²=a²-b²

Example

x²/25+y²/9=1: center (0,0), a=5, b=3

HYPERBOLAS

7. Two Separate Branches

쌍곡선(hyperbola)은 두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점들의 집합입니다.

Horizontal form

(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1

Vertical form

(y-k)²/a²-(x-h)²/b²=1

Asymptotes

그래프가 가까워지지만 만나지 않는 직선

CONNECTIONS

8. Identify the Shape

일반형을 보고 제곱항의 부호와 계수를 비교하면 곡선의 종류를 판단할 수 있습니다.

Circle

x²와 y²의 계수가 같고 둘 다 +

Ellipse

x²와 y²의 계수가 다르고 둘 다 +

Hyperbola

x²와 y²의 부호가 반대

Parabola

x² 또는 y² 중 하나만 존재

CHAPTER REVIEW

9. Practice & Answer Key

벡터와 원뿔곡선을 함께 복습합니다.

<6,8>의 크기

<2,1>·<1,-2>

(x-1)²+(y+2)²=16의 중심과 반지름

y=(x+3)²-2의 꼭짓점

x²/16+y²/9=1의 a와 b

x²/4-y²/9=1의 곡선 종류