VISUAL EXPLORER
Complex Numbers을 눈으로 이해하기
그래프와 도해는 화면 크기에 맞춰 선명하게 그려집니다.
LESSON 1
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 5 | PART 1
Complex Numbers
실수만으로는 풀리지 않는 방정식을 해결하기 위해 복소수를 도입합니다.
The imaginary unit
i = sqrt(-1), 그래서 i² = -1입니다. 복소수는 a+bi 꼴로 씁니다.
Real part
a
Imaginary part
b
Example
z=3-4i: real part 3, imaginary part -4
A new number system
x²+1=0은 실수 해가 없지만, x=±i를 사용하면 풀립니다.
LESSON 2
개념 · 공식 · 예제COMPLEX PLANE
1. Plot a + bi
복소수 z=a+bi는 복소평면에서 (a,b)라는 점으로 나타냅니다.
Two coordinates
가로축은 실수부(real part), 세로축은 허수부(imaginary part)입니다.
3+2i
점 (3,2)
-2+3i
점 (-2,3)
2-2i
점 (2,-2)
LESSON 3
개념 · 공식 · 예제OPERATIONS
2. Add, Subtract, Multiply
동류항처럼 실수부끼리, 허수부끼리 계산한 뒤 i²=-1을 사용해 정리합니다.
Addition
(3+2i)+(4-5i)=7-3i
Subtraction
(3+2i)-(4-5i)=-1+7i
Multiplication
(2+i)(3-4i)=10-5i
Use i²=-1
i²를 i로 남겨 두면 안 됩니다. 항상 -1로 바꾸어 실수부에 합치세요.
LESSON 4
개념 · 공식 · 예제POWERS
3. The Four-Step Cycle
i의 거듭제곱은 네 번마다 반복됩니다.
i¹
i
i²
-1
i³
-i
i⁴
Example
i²³ = i³ = -i
Divide by 4
지수를 4로 나눈 나머지를 사용하면 큰 거듭제곱도 빠르게 계산할 수 있습니다.
LESSON 5
개념 · 공식 · 예제QUADRATIC ROOTS
4. When the Discriminant is Negative
판별식 b²-4ac가 음수이면 이차방정식은 켤레복소수 해를 가집니다.
Example
x²+4x+13=0
Quadratic formula
x=(-4±sqrt(16-52))/2
Simplify
x=-2±3i
Practice Set
i³을 구하세요.
(5-2i)+(1+7i)
(2+i)(2-i)
z=-3+4i를 나타내세요.
x²+9=0을 푸세요.
NEXT
Part 2 preview
다음 파트에서는 켤레복소수, 나눗셈, 절댓값(modulus), 복습 문제와 정답을 다룹니다.
LESSON 6
개념 · 공식 · 예제CONJUGATES
5. Mirror Partners
켤레복소수(conjugate)는 허수부의 부호만 바꾼 수입니다.
Definition
conjugate of a+bi is a-bi
Example
conjugate of 3-4i is 3+4i
Product
(a+bi)(a-bi)=a²+b²
A real result
켤레복소수를 곱하면 허수부가 사라져 항상 실수가 됩니다.
LESSON 7
개념 · 공식 · 예제DIVISION
6. Rationalize the Denominator
복소수로 나눌 때는 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱합니다.
Problem
(3+2i)/(1-i)
Multiply
(3+2i)(1+i) / (1-i)(1+i)
Simplify
(1+5i)/2
Use the conjugate
분모가 a+bi이면 a-bi를 곱해 분모를 실수 a²+b²로 만드세요.
LESSON 8
개념 · 공식 · 예제MODULUS
7. Distance from the Origin
복소수의 절댓값(modulus)은 복소평면에서 원점까지의 거리입니다.
Formula
|a+bi|=sqrt(a²+b²)
Example
|3+4i|=sqrt(9+16)=5
Meaning
피타고라스 정리로 구하는 길이
Magnitude and direction
복소수는 전기공학, 신호 처리, 회전과 파동을 표현할 때 사용됩니다.
LESSON 9
개념 · 공식 · 예제CONNECTIONS
8. From Complex Numbers to Functions
복소수는 대수의 빈틈을 메울 뿐 아니라, 이후 삼각함수와 미적분에서도 중요한 언어가 됩니다.
Conjugate pair
실수 계수 다항식에서 복소수 해는 보통 쌍으로 나타남
Polynomial link
x²+9=(x-3i)(x+3i)
Calculus preview
복소수는 파동과 회전을 간결하게 표현
Do not compare i like a variable
i는 미지수가 아니라 i²=-1을 만족하는 특별한 수입니다.
LESSON 10
개념 · 공식 · 예제CHAPTER REVIEW
9. Practice & Answer Key
Chapter 5의 계산과 그래프 언어를 연결해 확인합니다.
conjugate of 4-7i
(2+3i)+(5-i)
i⁴
(1+2i)/(1-i)
|-5+12i|
x²+16=0
Answers
1) 4+7i 2) 7+2i 3) -i 4) (-1+3i)/2 5) 13 6) x=±4i