VISUAL EXPLORER
Exponential & Logarithms을 눈으로 이해하기
그래프와 도해는 화면 크기에 맞춰 선명하게 그려집니다.
LESSON 1
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 3 | PART 1
Exponential Functions
지수함수는 일정한 양을 더하는 변화가 아니라, 일정한 비율로 곱해지는 변화를 표현합니다.
Exponential function
f(x)=a^x에서 a>0, a≠1입니다. a>1이면 증가(growth), 0<a<1이면 감소(decay)합니다.
Common point
모든 지수함수는 (0,1)을 지납니다.
Domain
모든 실수
Range
항상 양수: y>0
LESSON 2
개념 · 공식 · 예제GROWTH & DECAY
1. Percent Change
매 시간 5%씩 증가한다면 이전 값에 1.05를 곱합니다. 이것이 지수적 성장입니다.
MODEL
Compound growth
A(t)=A0(1+r)^t. A0는 시작량, r은 증가율, t는 시간입니다. 감소라면 r 대신 음수 비율 또는 0<b<1을 씁니다.
Worked Example 01
Given
$500가 매년 6%씩 증가
Model
A(t)=500(1.06)^t
After 3 years
A(3)$595.51
Linear vs. exponential
매년 $30씩 늘면 선형(linear)입니다. 매년 6%씩 늘면 늘어난 금액도 계속 커지므로 지수함수입니다.
LESSON 3
개념 · 공식 · 예제LOGARITHMS
2. The Undo Button
로그는 지수의 역연산입니다. “몇 제곱해야 이 값이 되는가?”를 묻습니다.
Logarithm
log_a(b)=c 는 a^c=b와 같은 뜻입니다. 예: log2(8)=3, 왜냐하면 2^3=8입니다.
Exponential form
3^4=81
Logarithmic form
log3(81)=4
Domain
log_a(x)에서 x>0
LESSON 4
개념 · 공식 · 예제LOG RULES
3. Compressing Multiplication
로그 법칙은 곱셈·나눗셈·거듭제곱을 더하기·빼기·곱하기로 바꿉니다.
Product rule
log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N)
Quotient rule
log_a(M/N)=log_a(M)-log_a(N)
Power rule
log_a(M^k)=k log_a(M)
Worked Example 02
Simplify
log2(8x)
Use product rule
log2(8)+log2(x)
Answer
3+log2(x)
No split for addition
log(M+N)은 log(M)+log(N)이 아닙니다. 곱셈과 나눗셈에만 법칙을 적용합니다.
LESSON 5
개념 · 공식 · 예제4. Check Your Understanding
지수식과 로그식을 서로 바꿔 보며 의미를 확인하세요.
f(x)=3^x는 증가인가요, 감소인가요? 정의역과 치역을 쓰세요.
2^x=32를 푸세요.
log5(125)를 구하세요.
log2(4x)를 전개하세요.
log10(1000)=y를 지수식으로 바꾸고 y를 구하세요.
A(t)=200(1.1)^t에서 A(2)를 구하세요.
NEXT
Part 2 preview
다음에는 로그방정식, 자연상수 e, 응용 문제와 Chapter 3 종합 정리를 다룹니다.
LESSON 6
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 3 | PART 2
Solving Exponential Equations
지수에 미지수가 있으면 같은 밑으로 바꾸거나 로그를 이용해 지수를 내려옵니다.
Same base first
2^(x+1)=16이라면 16=2^4로 바꿔 x+1=4, x=3을 얻습니다. 가능한 경우 같은 밑으로 표현하는 것이 가장 빠릅니
다.
Worked Example 03
Equation
3^(2x)=20
Take logs
log(3^(2x))=log(20)
Power rule
2x log(3)=log(20)
Answer
x=log(20)/(2 log(3)) 1.36
Always verify
원래 식에 근삿값을 넣어 양쪽 값이 거의 같은지 확인하세요.
LESSON 7
개념 · 공식 · 예제LOGARITHMIC EQUATIONS
5. Solve and Check Domains
로그방정식에서는 먼저 로그 하나로 정리하고, 마지막에 진수(argument)가 양수인지 확인합니다.
Worked Example 04
Equation
log2(x-1)=3
Rewrite
x-1=2^3
Solve
x=9
Domain check
x-1>0 이므로 x=9는 허용
Extraneous answers
로그의 진수는 반드시 양수여야 합니다. 계산으로 나온 값도 원래 로그식에 넣어 확인해야 합니다.
Example
log(x-4)+log(x)=1
Combine
log(x(x-4))=1
Then
x(x-4)=10; 해 중 x>4인 값만 채택
LESSON 8
개념 · 공식 · 예제THE NUMBER E
6. Natural Growth
e2.71828은 연속적인 성장과 변화에서 자연스럽게 나타나는 특별한 수입니다.
Natural exponential
f(x)=e^x의 역함수는 ln(x)입니다. ln은 밑이 e인 로그입니다.
Relationship
ln(e^x)=x, e^(ln x)=x (x>0)
Continuous growth
A(t)=A0e^(kt)
Interpretation
k>0 성장, k<0 감소
Worked Example 05
Model
A(t)=100e^(0.2t)
At t=5
A(5)=100e^1271.83
Meaning
5시간 뒤 약 271.83
LESSON 9
개념 · 공식 · 예제APPLICATIONS
7. Choose the Right Model
문장의 변화 방식을 읽어 선형·지수·로그 모델을 구분합니다.
Linear
“매주 10개씩 증가”: 일정한 양을 더함
Exponential
“매년 4% 증가”: 일정한 비율을 곱함
Logarithmic
“초반에는 빠르고 갈수록 느려짐”: 증가가 점점 느림
pH scale
pH는 로그 척도입니다. pH가 1만 달라져도 수소 이온 농도는 10배 차이 납니다. 로그는 매우 큰 범위를 압축해 비
교할 때 유용합니다.
Derivative connection
e^x는 미분해도 e^x인 특별한 함수입니다. 이후 Calculus에서 가장 자주 만나게 됩니다.
LESSON 10
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 3 REVIEW
8. Practice & Answer Key
지수식·로그식·실생활 모델을 서로 연결해 생각하세요.
5^(x-1)=125를 푸세요.
log3(x)=4를 푸세요.
ln(e^7)을 간단히 하세요.
log2(x)+log2(x-2)=3을 푸세요.
A(t)=1000(0.8)^t의 의미를 설명하세요.
A(t)=50e^(0.1t)에서 A(10)을 구하세요.
Answer Key
x=4
x=81
x=4
매 기간 20% 감소
50e135.91