VISUAL EXPLORER
Polynomial Functions을 눈으로 이해하기
그래프와 도해는 화면 크기에 맞춰 선명하게 그려집니다.
LESSON 1
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 2 | PART 1
Polynomial Functions
다항함수는 함수와 그래프 감각을 한 단계 확장하는 핵심 단원입니다.
Polynomial
p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 꼴의 함수입니다. 지수는 0 이상의 정수이며, 분모에 x나 sqrt(x)는 없습니다.
Linear
degree 1: 직선
Quadratic
degree 2: 포물선
Cubic
degree 3: S자 형태가 자주 나타남
LESSON 2
개념 · 공식 · 예제DEGREE & LEADING COEFFICIENT
1. Shape at the Ends
차수(degree)와 최고차항의 계수(leading coefficient)는 그래프의 양 끝 모양을 알려 줍니다.
END BEHAVIOR
끝 행동 읽기
x가 아주 커지거나 아주 작아질 때 그래프가 어느 방향으로 가는지를 end behavior라고 합니다.
Example
p(x)=-2x^4+3x의 차수는 4(짝수), 최고차항 계수는 음수
Conclusion
그래프의 양쪽 끝은 모두 아래로 향합니다.
최고차항이 중요한 이유
x의 절댓값이 커질수록 최고차항이 다른 항보다 훨씬 커져 그래프의 전체 방향을 결정합니다.
LESSON 3
개념 · 공식 · 예제ZEROS & FACTORS
2. Where Does the Graph Cross?
영점(zero)은 함수값이 0이 되는 x값이며, 그래프의 x절편입니다.
FACTOR CONNECTION
인수와 영점
(x-a)가 인수이면 a는 영점입니다. p(x)=(x+2)(x-1)에서는 -2와 1이 영점입니다.
Worked Example 01
Factor
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Zeros
x=3, -2
Graph
x=-2와 x=3에서 x축을 만납니다.
LESSON 4
개념 · 공식 · 예제QUADRATIC FUNCTIONS
3. Three Useful Forms
이차함수는 세 가지 형태를 오가며 해석하면 편합니다.
Standard form
ax^2+bx+c: y절편 c를 바로 읽기
Factored form
a(x-r1)(x-r2): 영점 r1, r2를 바로 읽기
Vertex form
a(x-h)^2+k: 꼭짓점 (h,k)를 바로 읽기
Vertex form
q(x)=2(x-1)^2-3의 꼭짓점은 (1,-3)입니다. a=2>0이므로 위로 열리고, 세로로 2배 확대된 포물선입니다.
Sign check
(x+4)^2의 꼭짓점은 (-4,0)입니다. 괄호 안의 부호는 반대 방향으로 읽습니다.
LESSON 5
개념 · 공식 · 예제4. Check Your Understanding
계산하기 전에 그래프가 어떻게 생길지 말로 먼저 예측하세요.
p(x)=5x^3-2x의 차수와 최고차항 계수를 쓰세요.
p(x)=-x^6+4의 end behavior를 설명하세요.
p(x)=(x-4)(x+1)의 영점을 구하세요.
x^2+5x+6을 인수분해하고 영점을 구하세요.
q(x)=-3(x+2)^2+1의 꼭짓점과 열리는 방향을 쓰세요.
y=x^2-9의 x절편과 y절편을 구하세요.
NEXT
Part 2 preview
다음에는 다항함수의 그래프, 중복 영점(multiplicity), 나머지정리와 더 깊은 모델링을 배웁니다.
LESSON 6
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 2 | PART 2
Multiplicity & Graph Behavior
영점이 그래프를 “지나는지” 또는 “닿고 돌아서는지”는 중복도(multiplicity)가 알려 줍니다.
Multiplicity
(x-a)^m에서 m은 영점 a의 중복도입니다. m이 홀수이면 그래프는 보통 x축을 지나고, m이 짝수이면 닿고 돌아섭
니다.
m=1
단순 영점: 보통 x축을 통과
m=2
짝수 중복 영점: x축에 닿고 방향 전환
m=3
홀수 중복 영점: 통과하지만 더 평평해짐
LESSON 7
개념 · 공식 · 예제SKETCHING STRATEGY
5. Build a Polynomial Graph
식 전체를 전개하지 않아도 핵심 정보를 모아 그래프의 윤곽을 그릴 수 있습니다.
Step 1
차수와 최고차항 계수로 양 끝 행동을 확인
Step 2
인수분해하여 영점과 중복도를 확인
Step 3
y절편 p(0)을 계산
Step 4
영점 근처에서 통과/접촉을 표시하고 부드럽게 연결
p(x)=-(x+1)^2(x-2)
차수는 3, 최고차항 계수는 음수입니다. 왼쪽 끝은 위, 오른쪽 끝은 아래입니다. x=-1에서는 닿고, x=2에서는 통과
합니다.
y-intercept
p(0)=-(1)^2(-2)=2이므로 y절편은 (0,2)입니다.
LESSON 8
개념 · 공식 · 예제REMAINDER THEOREM
6. Evaluate Faster
나머지정리는 p(x)를 x-a로 나눌 때의 나머지가 p(a)라는 사실입니다.
REMAINDER THEOREM
One substitution
p(x)를 x-a로 나눈 나머지 = p(a). 특히 p(a)=0이면 x-a는 인수이고 a는 영점입니다.
Worked Example 02
Given
p(x)=x^3-4x+3
Test
p(1)=1-4+3=0
Conclusion
x-1은 인수이고 x=1은 영점
LESSON 9
개념 · 공식 · 예제POLYNOMIAL MODELS
7. A Real-World Lens
다항식은 여러 변화가 겹치는 현상을 근사할 때 유용합니다.
Trajectory
공을 던졌을 때의 높이는 시간의 이차함수로 근사할 수 있습니다. 영점은 공이 땅에 닿는 시간, 꼭짓점은 최고 높이
를 의미합니다.
Question
h(t)=-5t^2+20t의 최고 높이와 착지 시간을 생각해 보세요.
Vertex
t=2에서 h(2)=20: 최고 높이 20
Zeros
-5t(t-4)=0: t=0,4에서 땅에 닿음
Smooth change
다항함수는 매끄러워 미분하기 좋습니다. 다음 Calculus 과정에서 변화율과 최적화 문제의 대표 예제가 됩니다.
LESSON 10
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 2 REVIEW
8. Practice & Answer Key
각 문제에서 차수, 영점, 끝 행동을 연결해 생각하세요.
p(x)=2x^5-x의 양 끝 행동을 설명하세요.
p(x)=(x-3)^2(x+1)의 영점과 중복도를 쓰세요.
p(x)=x^3+2x^2-x-2에서 p(1)을 구하고 x-1이 인수인지 판정하세요.
p(x)=-(x-2)^2(x+3)의 y절편을 구하세요.
h(t)=-t^2+6t의 영점과 꼭짓점을 구하세요.
Answer Key
왼쪽 아래, 오른쪽 위
x=3 (중복도 2), x=-1 (중복도 1)
p(1)=0, 따라서 인수
p(0)=12
영점 0,6; 꼭짓점 (3,9)