VISUAL EXPLORER
Functions을 눈으로 이해하기
그래프와 도해는 화면 크기에 맞춰 선명하게 그려집니다.
LESSON 1
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 1
FUNCTIONS
함수: 수학을 움직이는 규칙
“A function turns an input into exactly one output.”
“함수는 하나의 입력을 정확히 하나의 출력으로 바꾸는 규칙이다.”
LESSON 2
개념 · 공식 · 예제PART 1 | FOUNDATIONS
1. What Is a Function?
함수는 입력(input)을 출력(output)으로 바꾸는 규칙입니다.
Function Machine
입력 x를 넣으면 함수 f가 출력 f(x)를 만듭니다. 같은 입력에는 출력 하나만 나와야 합니다.
INPUT
x
FUNCTION MACHINE
f(x) = 2x + 3
OUTPUT
f(x)
Worked Example 01
f(x) = 2x + 3일 때, f(4)를 구해 봅시다.
Step 1
입력값 4를 x 자리에 넣습니다: f(4) = 2(4) + 3
Step 2
계산합니다: 8 + 3 = 11
Answer
따라서 f(4) = 11 입니다.
함수는 “식”보다 넓은 개념입니다.
표, 그래프, 화살표 그림, 문장 규칙도 입력마다 출력이 하나로 정해지면 함수가 될 수 있습니다.
Quick check | 입력 5에 대해 출력 8과 10이 모두 나온다면 함수일까요? → 아니요.
LESSON 3
개념 · 공식 · 예제FUNCTION LANGUAGE
2. Domain & Range
정의역(domain)은 “넣을 수 있는 값”, 치역(range)은 “나올 수 있는 값”입니다.
Domain / Range
정의역은 함수에 실제로 입력할 수 있는 x값의 모음이고, 치역은 그 결과로 실제 나오는 y값의 모음입니다.
Worked Example 02
f(x) = √(x 1)의 정의역을 구하세요.
Why?
제곱근 안의 값은 음수가 될 수 없습니다.
Inequality
x 1 ≥ 0
Answer
x ≥ 1 (또는 [1, ∞))
한국어 표현
정의역: 입력 가능한 x값
치역: 실제로 나온 y값
공역: 가능한 출력의 전체 후보
English Math Language
domain: allowed input values
range: outputs actually produced
codomain: the target set
LESSON 4
개념 · 공식 · 예제READING GRAPHS
3. Is It a Function?
그래프에서 함수인지 확인하는 가장 빠른 방법은 수직선 판별법입니다.
VERTICAL LINE TEST
세로선을 그어 보세요.
어떤 세로선도 그래프를 두 번 이상 만나지 않으면 함수입니다. 한 x값에 y값이 두 개 이상 생기지 않기 때문입니
다.
Pass
y = x²: 모든 x에 대해 y가 하나씩만 정해집니다.
Fail
원: 같은 x에 위쪽 점과 아래쪽 점, 두 y값이 생깁니다.
Remember
Vertical = “함수인가?” | Horizontal = “역함수가 가능한가?”
왜 세로선인가?
세로선은 x값 하나를 고정합니다. 그 선이 두 점을 만나면 같은 입력 x가 서로 다른 두 출력을 만든 것이므로 함수
규칙을 어깁니다.
Try it | y = |x|, y = ±√x, y = 3x 2 중 함수가 아닌 것은? → y = ±√x
LESSON 5
개념 · 공식 · 예제FUNCTION SENSE
4. Reading a Function Graph
그래프는 함수가 “어떻게 행동하는지”를 한눈에 보여 주는 지도입니다.
Intercepts
절편
x절편: y = 0인 곳
y절편: x = 0인 곳
Growth
증가·감소
왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때
y값이 커지는지 확인
Symmetry
대칭
그래프가 어떤 선을 기준으로
거울처럼 보이는지 확인
Worked Example 03
y = x² 그래프를 읽어 봅시다.
Vertex
꼭짓점(vertex)은 (0, 0)이며, 최솟값은 0입니다.
Domain
모든 실수: (∞, ∞)
Range
0 이상: [0, ∞)
Behavior
x < 0에서는 감소, x > 0에서는 증가합니다.
그래프 읽기는 미적분의 출발점입니다.
나중에 미분에서는 “얼마나 빠르게 변하는가”를, 적분에서는 “그래프 아래 넓이는 얼마인가”를 그래프와 함께 해
석합니다.
Part 1 Practice
1) f(x)=3x4일 때 f(2)를 구하세요. 2) y=√(x+2)의 정의역을 구하세요. 3) 원의 그래프는 함수인가요? 이유를 쓰세요.
LESSON 6
개념 · 공식 · 예제PART 2 | TRANSFORMATIONS
5. Function Transformations
식을 바꾸면 그래프는 이동하고, 뒤집히고, 늘어나거나 줄어듭니다.
Parent Function
y=x² 같은 기본 그래프를 parent function이라고 합니다. 모든 변환은 이 기준 그래프에서 출발합니다.
y=f(x)+k
위로 k만큼 이동
y=f(x-h)
오른쪽으로 h만큼 이동
y=-f(x)
x축에 대해 대칭
Memory tip | 괄호 안의 부호는 그래프 이동 방향과 반대입니다: f(x-3) → 오른쪽 3.
LESSON 7
개념 · 공식 · 예제TRANSFORMATIONS
6. Move, Reflect, Stretch
그래프의 모양을 예측한 뒤 꼭짓점이나 기준점 하나를 옮겨 확인합니다.
Worked Example 04
y=(x-2)²+3의 그래프를 y=x²에서 출발해 그려 봅시다.
Step 1
(x-2): 오른쪽으로 2 이동
Step 2
+3: 위로 3 이동
Vertex
(0,0) → (2,3)
Inside vs. outside
f(x)+3은 위로 3이지만, f(x+3)은 왼쪽으로 3입니다. 괄호 안에서는 방향이 반대입니다.
Quick reference
y=2f(x)
세로로 2배 확대: 더 가늘고 가파르게
y=1/2f(x)
세로로 1/2배 축소: 더 넓고 완만하게
y=f(-x)
y축에 대해 대칭
그래프 없이 예측하기
y=-(x-1)²+4의 꼭짓점은 (1,4)이고 아래로 열리는 포물선입니다.
LESSON 8
개념 · 공식 · 예제INVERSE FUNCTIONS
7. Undoing a Function
역함수(inverse function)는 함수가 한 일을 거꾸로 되돌립니다.
Inverse Function
f가 x를 y로 바꾸면, f^-1은 y를 원래 x로 되돌립니다. f^-1(x)는 1/f(x)가 아닙니다.
Worked Example 05 | f(x)=2x+1
y=2x+1로 놓습니다.
x와 y를 바꿉니다: x=2y+1
y에 대해 풉니다: y=(x-1)/2
Answer
f^-1(x)=(x-1)/2
LESSON 9
개념 · 공식 · 예제ONE-TO-ONE
8. Horizontal Line Test
역함수가 “함수”가 되려면, 원래 함수의 출력 하나가 입력 하나에만 대응해야 합니다.
HORIZONTAL LINE TEST
가로선을 그어 보세요.
어떤 수평선도 그래프를 두 번 이상 만나지 않으면 one-to-one 함수입니다. 이런 함수만 역함수를 가질 수 있습니
다.
Vertical Line Test
“이 그래프가 함수인가?”
Horizontal Line Test
“이 함수가 역함수를 가지는가?”
EXAMPLE
Domain restriction
y=x²는 전체 실수에서 one-to-one이 아니지만, x>=0으로 정의역을 제한하면 역함수 y=sqrtx를 가집니다.
LESSON 10
개념 · 공식 · 예제COMPOSITION
9. Composition of Functions
합성함수(composition)는 함수 두 개를 순서대로 적용하는 것입니다.
Compose from the inside
(gof)(x)=g(f(x))입니다. 먼저 f를 계산하고, 그 결과를 g에 넣습니다.
Worked Example 06
f(x)=2x, g(x)=x+3일 때 (gof)(x)를 구하세요.
First
f(x)=2x
Then
g(f(x))=g(2x)=2x+3
Answer
(gof)(x)=2x+3
Try it
f(x)=x², g(x)=3x-1일 때 (gof)(x)와 (fog)(x)를 각각 구해 보세요. 두 답이 왜 다른지 설명하세요.
LESSON 11
개념 · 공식 · 예제10. Modeling with Functions
함수는 세상의 변화를 예측하고 설명하는 언어입니다.
Hourly Cost Model
기본 요금과 시간당 요금을 더하면 전체 비용을 표현할 수 있습니다. C(h)=50+20h에서 h는 시간, C(h)는 총비용입
니다.
Worked Example 07
Question
3.5시간 이용하면 비용은?
Calculation
C(3.5)=50+20(3.5)=120
Answer
$120
INTERPRET
그래프를 말로 읽기
기울기 20은 “시간이 1시간 늘 때 비용이 $20 증가한다”는 뜻입니다. y절편 50은 시작 비용입니다.
LESSON 12
개념 · 공식 · 예제PROBLEM-SOLVING
11. A Function Checklist
문제를 풀기 전 네 가지 질문을 순서대로 확인하면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.
Worked Example 08
f(x)=sqrt(x-2)의 정의역과 f(6)을 구하세요.
Domain
x-2 >= 0 이므로 x >= 2
Evaluate
f(6)=sqrt(6-2)=2
Reason
제곱근 안의 값은 음수가 될 수 없습니다.
조건을 먼저 읽기
문제에서 “real number”, “nonnegative”, “for x>0” 같은 표현은 정의역을 제한하는 힌트입니다.
LESSON 13
개념 · 공식 · 예제12. Core Skills
각 문제에서 식과 그래프의 뜻을 말로 먼저 설명한 뒤 계산하세요.
Functions & Domain
f(x)=4x-7일 때 f(3)을 구하세요.
g(x)=sqrt(x+5)의 정의역을 구하세요.
그래프 y=x^2-4의 x절편을 구하세요.
y=|x|는 함수인가요? 수직선 판별법으로 설명하세요.
Transformations & Inverses
y=(x+2)^2-1은 y=x^2에서 어떻게 이동한 그래프인가요?
f(x)=3x-6의 역함수를 구하세요.
y=x^2가 one-to-one이 되도록 정의역을 제한하는 방법 한 가지를 쓰세요.
CHALLENGE
Graph thinking
y=-(x-1)^2+4의 꼭짓점, 대칭축, 최댓값을 각각 쓰세요.
LESSON 14
개념 · 공식 · 예제13. Composition & Mixed Review
순서와 정의역을 끝까지 확인하세요.
f(x)=x+4, g(x)=2x일 때 (gof)(x)를 구하세요.
위 문제에서 (fog)(x)를 구하세요. 두 결과가 왜 다른가요?
f(x)=sqrt(x), g(x)=x-9일 때 (fog)(x)의 정의역을 구하세요.
h(x)=2x+5의 역함수 h^-1(x)를 구하세요.
택시요금 T(m)=3+1.8m에서 m=12일 때 T(m)을 구하세요.
Exit Ticket
WRITE
한 문장으로 설명하기
“역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭인 이유”를 자신의 말로 한 문장으로 설명하세요.
자기 점검
계산 전 정의역을 확인했나요? 합성함수는 안쪽부터 계산했나요? 그래프의 이동 방향을 부호와 함께 확인했나요
?
LESSON 15
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 1 SUMMARY
14. One-Page Review
함수 감각을 갖추면 다음 챕터의 다항함수와 지수·로그함수가 훨씬 쉬워집니다.
Key vocabulary
Function
입력 하나에 출력 하나가 정해지는 규칙
Domain / Range
입력 가능한 값 / 실제로 나오는 값
Transformation
이동, 대칭, 확대·축소
Inverse
함수의 과정을 되돌리는 함수
Composition
함수를 순서대로 적용하는 것
Answer Key
1–4
5; x>=-5; x=-2,2; 함수
5–7
왼쪽 2·아래 1; (x+6)/3; 예: x>=0
8–10
2x+8; 2x+4; x>=9
11–12
(x-5)/2; $24.60
다음 연결
미분은 함수의 변화율을, 적분은 함수 그래프 아래의 누적량을 다룹니다. Chapter 1의 그래프 읽기와 정의역 감각
이 그대로 사용됩니다.