VISUAL EXPLORER
Sequences & Series을 눈으로 이해하기
그래프와 도해는 화면 크기에 맞춰 선명하게 그려집니다.
LESSON 1
개념 · 공식 · 예제CHAPTER 6 | PART 1
Sequences and Series
수열은 순서가 있는 수의 목록이고, 급수는 그 항들을 더한 것입니다.
Sequence notation
a_n은 n번째 항(term)을 뜻합니다. 예: a_n=2n+1이면 3, 5, 7, 9, ...입니다.
Explicit formula
n을 넣어 바로 항 계산
Recursive formula
앞 항으로 다음 항 계산
Graph
떨어진 점(discrete points)
LESSON 2
개념 · 공식 · 예제ARITHMETIC SEQUENCES
1. Add the Same Difference
등차수열은 매번 같은 수 d를 더하는 수열입니다.
Common difference
d=a_n-a_(n-1)
Explicit formula
a_n=a_1+(n-1)d
Example
5, 8, 11, 14, ... 에서 d=3
20th term
a_20=62
Find a term
a_1=12, d=-4이면 a_8=-16입니다.
LESSON 3
개념 · 공식 · 예제GEOMETRIC SEQUENCES
2. Multiply by the Same Ratio
등비수열은 매번 같은 비 r을 곱하는 수열입니다.
Common ratio
r=a_n/a_(n-1)
Explicit formula
a_n=a_1 r^(n-1)
Example
3, 6, 12, 24, ... 에서 r=2
6th term
a_6=96
Difference vs. ratio
빼서 일정하면 등차, 나누어 일정하면 등비수열입니다.
LESSON 4
개념 · 공식 · 예제SERIES
3. Sigma Means Add
급수는 수열의 항을 더한 것입니다. 시그마 Σ는 여러 항의 합을 짧게 쓰는 기호입니다.
Sigma
Σ(k=1 to 4) k = 10
Arithmetic sum
S_n=n/2(a_1+a_n)
Geometric sum
S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)
A compact language
시그마는 반복 계산을 간결하게 쓰고, 패턴을 한눈에 보게 합니다.
LESSON 5
개념 · 공식 · 예제4. Check Your Understanding
수열의 종류와 공식, 급수를 연결해 보세요.
a_n=4n-1일 때 a_7
2, 7, 12, ... 의 d와 a_10
81, 27, 9, ... 의 r과 a_5
a_1=3, d=5일 때 S_8
Σ(k=1 to 5) 2k
a_1=2, r=3일 때 a_4
NEXT
Part 2 preview
다음 파트에서는 무한등비급수, 수열의 극한, 실제 응용과 정답을 다룹니다.
LESSON 6
개념 · 공식 · 예제INFINITE SERIES
5. A Sum that Approaches a Limit
등비급수에서 |r|<1이면 항이 0에 가까워지고, 무한히 더한 값도 유한합니다.
Formula
S_inf=a_1/(1-r), |r|<1
Example
4+2+1+...: a_1=4, r=1/2
Answer
S_inf=4/(1-1/2)=8
Convergent vs. divergent
|r|<1이면 수렴(convergent), |r|≥1이면 무한등비급수는 발산(divergent)합니다.
LESSON 7
개념 · 공식 · 예제LIMITS OF SEQUENCES
6. Where are the Terms Going?
수열의 극한(limit)은 n이 매우 커질 때 항들이 가까워지는 값을 뜻합니다.
Example
a_n=1/n → 0
Example
a_n=3+1/n → 3
Divergent
a_n=(-1)^n은 1과 -1 사이를 반복
The bridge to limits
수열의 극한은 미적분의 함수 극한을 이해하는 중요한 준비 단계입니다.
LESSON 8
개념 · 공식 · 예제APPLICATIONS
7. Model Repeated Change
수열은 일정한 변화 또는 일정한 비율의 변화를 시간에 따라 표현합니다.
Saving plan
매달 같은 금액 추가 → 등차 모델
Population
매년 일정 비율 증가 → 등비 모델
Bouncing ball
매번 일정 비율 높이로 튐 → 무한등비급수
Why it matters
반복되는 행동과 변화는 수열로 모델링하면 예측하고 비교하기 쉬워집니다.
LESSON 9
개념 · 공식 · 예제CHAPTER SUMMARY
8. Formula Map
문제의 문장을 보고 ‘더하는 변화’인지 ‘곱하는 변화’인지 먼저 판단하세요.
Arithmetic term
a_n=a_1+(n-1)d
Arithmetic sum
S_n=n/2(a_1+a_n)
Geometric term
a_n=a_1r^(n-1)
Geometric sum
S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)
Infinite geometric
S_inf=a_1/(1-r), |r|<1
Check r
무한등비급수 공식은 |r|<1일 때만 사용할 수 있습니다.
LESSON 10
개념 · 공식 · 예제CHAPTER REVIEW
9. Practice & Answer Key
Chapter 6의 수열, 급수, 극한을 한 번에 복습합니다.
a_1=7, d=4일 때 a_12
a_1=5, r=2일 때 a_6
1+1/2+1/4+...
lim n→∞ 6/n
lim n→∞ (2+1/n)
a_1=2, d=3일 때 S_5
Answers
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